문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 전자기장의 게이지 변환 === 이제 자기장이 있는 경우를 보자. 잘 알려져 있듯이 전기장과 자기장은 서로 얽혀 있다. 따라서 게이지 변환 역시 자기장과 얽혀서 뭔가 달라진다. 퍼텐셜 성분이 3개나 늘어나서 그런지 게이지 변환은 전기장에 단순히 상수를 더하는 것보다 더 복잡해지게 된다. 저 위에 써 둔 변환식이 바로 일반적인 전자기 퍼텐셜의 게이지 변환이다. 이 게이지 변환을 보면 앞에서 서술한 눈금 어쩌고를 굳이 넣을 만한 건덕지가 없어 보인다. 하지만 어쨌든 이 변환은 앞서 주욱 설명한 전기 퍼텐셜의 게이지 변환(눈금 돌리기)의 일반화인 것이 분명하다. 더하되, 상수가 아닌 더 복잡한 함수를 더하는 것이고, 그럼에도 물리가 변하지 않는다는 것이다. 이것을 보면 일반화라고 할 만하다. 이번에도 위의 게이지 변환 만이 유일한 건가를 짚어 보자. 이 작업은 맥스웰 방정식들 중에서 다음 두 가지로부터 이루어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}=0, \,\,\,\,\, \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E} =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} )]}}} 첫째 방정식은 [math(\mathbf{B})]가 어떤 벡터장 [math(\mathbf{A})]의 curl, 즉 [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})]이어야 한다는 것을 말해 주며, 이걸 둘째 방정식에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]}}} 가 어떤 스칼라장 [math(-\Phi)]의 그래디언트, 즉 [math(-\boldsymbol{\nabla} \Phi)]임을 알 수 있다. 즉, 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}, \,\,\,\,\,\ \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]}}} 이렇게 전기장과 자기장이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 표현이 된다. 이제 이로부터 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜이 어떻게 바뀌면 전기장과 자기장이 바뀌지 않을 것인지를 살펴 보자. 먼저 자기장을 살펴 보자. 다행히 여기서는 벡터 퍼텐셜만 고려해 주면 된다. 새로운 벡터 퍼텐셜을 [math(\mathbf{A'})]라 하면 [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'})] 혹은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\mathbf{A'} - \mathbf{A}) = 0 )]}}} 이어야 한다. 이것을 만족하려면 [math(\mathbf{A'} - \mathbf{A})]가 어떤 스칼라 함수의 그래디언트이어야 한다. 즉, [math(\mathbf{A'} - \mathbf{A}= \boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda}_{0})]이어야 한다. 다시 말해, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\mathbf{A'}= \mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda}_{0} )]}}} 이것은 위에서 소개한 게이지 변환 중 벡터 퍼텐셜의 변환과 일치한다. 이제 이걸 가지고 스칼라 퍼텐셜의 변환을 구해 보자. 게이지 변환이 된 스칼라 퍼텐셜을 [math(\Phi')]라 하자. 전기장의 식으로부터 다음이 만족되어야 한다는 것을 알 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle -\boldsymbol{\nabla} \Phi' - \frac{\partial \mathbf{A'}}{\partial t} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi' - \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla}\mathit{\Lambda}_{0}) = -\boldsymbol{\nabla} \Phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} )]}}} 이걸 정리하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle -\boldsymbol{\nabla} \left( \Phi' - \Phi + \frac{\partial \mathit{\Lambda}_{0}}{\partial t} \right) = 0)]. }}} 따라서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \Phi' = \Phi - \frac{\partial \mathit{\Lambda}_{0}}{\partial t} - \mathit{\Lambda}_{1}(t))]. }}} 이때 [math(\mathit{\Lambda}_{1})]는 시간만의 함수이다. 그런데 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathit{\Lambda}_{1}= \frac{d \mathit{\Lambda}_{1}(t)}{dt})]. }}} 로 정의하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \Phi' = \Phi - \frac{\partial (\mathit{\Lambda}_{0} +\mathit{\Lambda}_{1})}{\partial t})]. }}} 이고, 사실 [math(\boldsymbol{\nabla} (\mathit{\Lambda}_{0} +\mathit{\Lambda}_{1}) = \boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda}_{0} )]이기에 위 식들에서 [math(\mathit{\Lambda}_{0} )] 대신 [math( \mathit{\Lambda}=\mathit{\Lambda}_{0} + \mathit{\Lambda}_{1} )]을 넣어도 바뀌는 것은 없다. 따라서 가능한 게이지 변환은 다음뿐이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \mathbf{A'} = \mathbf{A} + \boldsymbol{\nabla} \mathit{\Lambda} )] [math(\displaystyle \Phi' = \Phi - \frac{\partial\mathit{\Lambda}}{\partial t})] }}} 정확하게 맨 위에서 제시한 게이지 변환과 일치한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기